Annexe 3

Annexe 3

PROPAGATION ACOUSTIQUE NON-LINEAIRE.

Cette annexe n° 3 dédiée à la propagation acoustique non-linéaire est un complément au chapitre 2.2 du texte principal. Certains éléments du chapitre 2.2 sont repris ci-dessous sans modification.

Les équations de base de l’acoustique sont non-linaires. Pour un grand nombre d’applications les termes quadratiques sont du second ordre et peuvent être négligés. Dans ce cas les équations de base linéarisées mènent à l’équation des ondes (domaine temporel) ou à l’équation de Helmholtz (domaine fréquentiel). Dans cette annexe 3, le cas du fluide homogène au repos, parfait et soumis à des transformations isentropiques, est traité en détail : les équations de base sont traitées dans le cadre de l’acoustique linéaire dans un premier temps, puis dans le cadre de l’acoustique faiblement non linéaire dans un second temps. Après avoir retrouvé l’équation des ondes (acoustique linéaire), l’équation de Burgers (acoustique non linéaire) est dérivée. Pour ne pas alourdir inutilement le formalisme, seul le cas d’un milieu mono dimensionnel sans perte est traité en détail.

1- Equations de base du fluide dans un milieu 1D

En dehors des sources, le fluide homogène est supposé au repos, et le gaz parfait isentropique. Les équations de base sont dans l’ordre l’équation de conservation de la masse, l’équation de conservation de la quantité de mouvement, et l’équation isentropique :

(A3-1)

(A3-2)

. (A3-3)

2- Acoustique linéaire

Le fluide étant supposé homogène et en l’absence de perturbation acoustique, les grandeurs stationnaires, la pression P_o, la densité et la vitesse u_o, sont constantes indépendantes de la position x. De plus le fluide est supposé au repos (u_o=0) en tout point. En présence de perturbations acoustiques, les grandeurs thermodynamiques sont réécrites de la manière suivante : . Dans le cadre de l’acoustique linéaire les perturbations acoustiques (quantités « primées ») sont supposées petites devant les grandeurs stationnaires. Dans ce cas les termes quadratiques (cf. le membre de gauche des équations de conservation) sont du second ordre et peuvent être négligés. Après linéarisation autour des grandeurs stationnaires, les équations de conservation (A3-1) et (A3-2) deviennent les équations (A3-4) et (A3-5), cette dernière étant connue sous le nom d’ équation d’Euler :

(A3-4)

(A3-5)

Par ailleurs la vitesse du son c adiabatique est définie par : .

A partir de l’adiabatique du gaz parfait , la vitesse du son vérifie .

Sachant que la pression et la densité acoustique vérifient , après élimination de la variable densité dans (A3-4), après application des opérateurs et aux équations (A3-4) et (A3-5), et en les retranchant l’une de l’autre, il vient :

(A3-6)

L’équation des ondes (A3-6) peut être réécrite sous la forme suivante :

L’onde de pression p’ est décomposée en deux ondes simples, p⁺ et p^-, ondes aller et retour, respectivement solutions de et .

3- Acoustique faiblement non linéaire

3.1- Adimensionnement des variables et simplification des équations de base

Soit M le nombre de Mach défini par M=U_o/c_o(U_o est une amplitude de vitesse acoustique caractéristique du problème, au niveau de la source par exemple). Dans le cadre de l’acoustique faiblement non-linéaire M est supposé très petit devant 1. Les grandeurs sont adimensionnées de la manière suivante (grandeurs adimensionnées représentées avec une "barre") :

Les équations de base (A3-1), (A3-2) et l’adiabatique du gaz parfait sont réécrites avec les grandeurs adimensionnées :

(A3-7)

(A3-8)

. (A3-9)

3.2- Méthode des échelles multiples et équations de Burgers

Suivant les méthodes de perturbation classiques, les variables sans dimension sont développées au premier ordre du petit paramètre M :

, , . (A3-10)

Les variables indexées par 0 et par 1 sont toutes supposées d’ordre 1.

Résolution des équations de base adimensionnées par la méthode des échelles multiples

Suivant la méthode de perturbation particulière dite « méthode des échelles multiples », une variable "lente" X est introduite à partir de la variable x dite « rapide » du problème : X=Mx. L'opérateur est alors remplacé par dans les équations de base adimensionnées. Après avoir inséré les nouvelles variables définies en (A3-10) dans les équations de base, ces dernières sont analysées par ordre croissant du petit paramètre M.

Equation de propagation au premier ordre (acoustique linéaire) :

A l’ordre le plus bas en M, les équations de base se réduisent à l’équation des ondes de l’acoustique linéaire comme suit (équation A3-6 adimensionnée) :

dont la solution propagative dans le sens des x croissants est où est une phase adimensionnée.

Au second ordre, équation de Burgers (acoustique faiblement non linéaire) :

Après annulation des termes séculaires du calcul au second ordre, est solution de l’équation différentielle non linéaire du premier ordre suivante :

. (A3-11)

Après le changement de variable , l'équation hyperbolique ci-dessus peut être écrite sous la forme d’une équation de Bürgers comme suit :

. (A3-12)

Si la source est sinusoïdale en entrée de tuyau (amplitude P₀ en x=0), l'onde se distord lors de la propagation : une partie de l'énergie contenue à la fréquence F de la source (amplitude q₁) est transférée sur les harmoniques supérieures (amplitude q₂ de l’harmonique 2 par exemple) selon les formules de Fubini. Au voisinage de la source, q₁ et q₂ vérifient :

et ,

où est l’abscisse adimensionné par la distance de formation de choc x_c définie plus bas.

A longue distance de la source, l'onde initialement sinusoïdale se transforme en "onde N" (figure 23) faisant apparaître un "choc" (variation instantanée de pression) dans le domaine temporel, se traduisant par un spectre de raies de bande fréquentielle infinie. Dans le cadre de cette théorie sans perte, il existe une distance limite au-delà de laquelle il y a présence de choc, c’est à dire variation instantanée de pression (pente infinie). Cette distance est la « distance de formation de choc » x_c :

(A3-13)

où est la valeur maximum de la dérivée temporelle du signal de pression en x=0.

Le phénomène de distorsion de l’onde lors de la propagation peut être décrit qualitativement de la façon suivante. Les variations de pression acoustique provoquent des zones de compression et d’expansion qui provoquent respectivement des augmentations et diminutions de température. Or la vitesse du son c dépend localement de la température : c est proportionnel à la racine carrée de la température absolue, elle est en donc une fonction croissante. Sur une période de la pression acoustique, le maximum de pression va donc se propager plus vite que le minimum et aura tendance à se rapprocher de ce dernier (phénomène de distorsion de l’onde) jusqu’à le « rattraper » (formation d’onde de choc). La résolution complète de ce problème dans le cas de l’onde simple est connue depuis longtemps pour le cas sans perte : « méthode des caractéristiques » ou des invariants de Riemann.

Equation de Burgers généralisée

Dans la réalité, les angles de l'onde de choc sont « arrondis » par les phénomènes de pertes non pris en compte jusqu’ici. Après prise en compte des pertes visco-thermiques aux parois d'une part (terme du second membre avec dérivée ½ de l’équation A3-14 ci-dessous), des pertes visco-thermiques de volume d'autre-part (terme du second membre avec dérivée seconde), l'équation de Burgers est généralisée par l’équation suivante :

. (A3-14)

La présence des termes de pertes aux parois rend la résolution analytique de cette équation impossible. Après résolution numérique on peut observer la distorsion de l'onde, supposée sinusoïdale à la source, comme illustré figure 23.

Ouvrages de référence

- P. Thompson (1972), « Compressible fluid dynamics », Mc Graw-Hill, New-York.

- O.V. Rudenko and S.I. Soluyan (1977), « Theoretical foundations of nonlinear acoustics », Consultants bureau, New-York and London.

- D.G. Crighton, A.P. Dowling, J.E. Ffowcs Williams, M. Heckl, F.G. Leppington (1992), « Modern methods in analytical acoustics » Lectures notes, Springer-Verlag, New-York.